수학
1897년 미국 인디애나 주 하원은 원주율 π를 사실상 3.2로 만드는 엉터리 수학 법안을 67대 0으로 통과시켰다. 발의자는 자신이 ‘원의 제곱화’를 풀었다고 믿은 아마추어 수학자였고, 인디애나 학교에 무료 사용권을 주겠다고 제안했다. 상원에서는 우연히 현장에 있던 퍼듀대 교수가 오류를 지적해 법안이 보류됐다.
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사람 23명만 모이면, 그중 생일이 같은 두 사람이 있을 확률이 50%를 넘는다. 1년이 365일이니 훨씬 많은 사람이 필요할 것 같지만, 따져야 할 것은 '나와 누가 같은가'가 아니라 '아무 두 사람이 같은가'다. 23명이면 비교할 짝이 253쌍이나 되기 때문이다. 70명이면 그 확률은 99.9%에 이른다. 직관과 어긋나는 '생일 역설'이다.
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개별적으로는 반드시 지는 두 게임이라도, 교대로 플레이하면 이기는 전략이 될 수 있다. 한 게임의 결과가 다른 게임의 조건에 영향을 미쳐 유리한 순간만 골라낼 수 있기 때문이다. 이를 '파론도의 역설'이라 한다.
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같은 크기의 정육면체 두 개가 있을 때, 한쪽에 구멍을 잘 뚫으면 다른 정육면체가 그 구멍을 통과할 수 있다. 공간 대각선에 평행하게 뚫으면 약 6% 더 큰 정육면체도 통과 가능하며, 이를 '루퍼트 성질'이라 한다.
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'잠자는 미녀 문제'는 수학자와 철학자들 사이에서 답이 갈리는 유명한 확률 역설이다. 동전이 앞면이면 미녀를 1번, 뒷면이면 2번 깨우되 기억을 지운다. 깨어난 미녀에게 앞면일 확률을 물으면, 1/2이라는 파와 1/3이라는 파가 팽팽히 맞서며 두 답 모두 논리적으로 타당하다.
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그레이엄수는 간단한 수학 문제의 답에서 나온 수이지만, 우주의 모든 원자에 한 자릿수씩 적어도 다 적을 수 없을 만큼 크다. 우주를 우주의 원자 개수만큼 가져와도 이 수를 다 적기에 부족하다.
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발생 확률 0.1%인 재난에 정확도 99%인 경보를 설치하면, 1만 일 중 경보가 울리는 약 110일 가운데 100일은 오경보다. 90% 이상이 오경보인 셈이지만, 그렇다고 경보를 무시하면 정확도 99%인 경보를 놓치는 것이다. 직관과 확률이 어긋나는 '기저율 오류'의 대표적 사례다.
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경제학자 케네스 애로우는 박사논문에서, 3개 이상의 후보가 있을 때 공정하고 민주적인 투표 시스템이 충족해야 할 기본 조건들을 동시에 만족시키는 방법은 존재하지 않음을 수학적으로 증명하였다. 이 '불가능성 정리'로 그는 노벨경제학상을 수상하였다.
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한국 술 게임 '더 게임 오브 데스'에서는 각자 한 명을 손가락으로 지목한 뒤, 주최자가 숫자를 외쳐 그만큼 지목을 따라간 사람이 진다. 주최자가 참여 인원보다 큰 소수를 부르면 절대 지지 않는데, 지목 고리가 주최자에게 돌아오려면 고리 길이가 부른 수의 약수여야 하기 때문이다.
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'소파 옮기기 문제(Moving Sofa Problem)'는 폭이 1인 직각 복도를 통과할 수 있는 가장 넓은 소파의 형태를 찾는 60년 된 수학 난제였다. 2024년 한국인 수학자 백진언이 넓이 약 2.2195의 '게르버 소파'가 최대임을 컴퓨터 없이 순수 수학적 논증만으로 증명하여, 사이언티픽 아메리칸이 선정한 '2025년 10대 수학 혁신'에 이름을 올렸다.
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바둑, 체스, 오목 같은 게임에는 절대 지지 않는 전략이 수학적으로 존재함이 증명되어 있다(체르멜로 정리). 다만 이 정리는 그런 전략이 존재한다는 사실만 증명할 뿐, 그 전략이 무엇인지는 알려주지 않는다. 오목의 경우 선공의 필승법이 실제로 밝혀져 있어, 국제 대회에서는 별도의 룰로 경기한다.
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정사각형 17개를 큰 정사각형 하나에 넣을 때, 깔끔하게 정렬하는 것보다 비뚤비뚤 기울여 넣는 것이 수학적으로 더 효율적이다. 아직 최적해로 증명되지는 않았지만, 현재까지 알려진 가장 효율적인 배치는 매우 추한 형태이다.
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클로드 섀넌이 제시한 '섀넌의 도깨비' 모델에 따르면, 하루는 50% 오르고 하루는 33% 떨어지는 시장에 만 원을 넣어 두면 1년 후 그대로 만 원이다. 그러나 매번 재산의 절반만 투자하면 같은 시장에서 1년 후 약 1,765만 원이 된다.
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자연수, 정수, 유리수의 개수는 모두 같은 크기의 무한이다. 하지만 무리수는 이들보다 셀 수 없을 만큼 더 많다. 19세기 수학자 게오르크 칸토어가 이를 증명하였으며, 수직선에 무작위로 점을 찍으면 그 점이 유리수일 확률은 0이다.
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도로를 새로 뚫었는데 오히려 교통이 느려지는 현상을 '브라에스의 역설'이라 한다. 모든 운전자가 자신에게 유리한 경로를 선택하면 전체가 느려질 수 있다. 실제로 1999년 서울 남산 2호터널 폐쇄 시 서울 전체 도로 평균 속도가 오히려 증가하였다.
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란체스터 제곱 법칙에 의하면, 동일 조건에서 500명이 1,300명과 전투하면 500명은 겨우 100명만 죽이고 전멸한다. 수적 열세는 단순한 뺄셈보다 훨씬 치명적이기 때문에, 적을 분리하여 각개격파하는 것이 불리한 전투의 핵심 전략이다.
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스마트폰 앱 아이콘의 모양은 모서리를 둥글게 깎은 사각형이 아니라 '스쿼클(Squircle)'이라는 수학적 곡선이다. |x|⁴ + |y|⁴ = r⁴로 정의되는 초타원의 일종으로, 모서리만 둥근 것보다 전체적으로 더 부드러운 인상을 준다.
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고속도로와 철도의 커브길은 원호가 아니라 '클로소이드(Clothoid)'라는 특수한 곡선으로 설계된다. 곡률이 점진적으로 변하기 때문에, 직선에서 곡선으로 진입할 때 원심력이 갑자기 생기지 않고 서서히 증가한다.
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한쪽 눈을 감고 엄지를 세워 먼 물체에 맞춘 뒤 다른 눈으로 바꾸면 엄지가 이동한 것처럼 보인다. 이때 물체가 옮겨 보이는 거리에 10을 곱하면 물체까지의 실제 거리가 된다. 사람의 양안 거리와 팔 길이의 비가 약 1:10이기 때문이다.
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제곱근을 빠르게 어림하는 방법이 있다. 가장 가까운 완전제곱수를 찾고, 그 제곱근에 차이를 제곱근의 2배로 나눈 값을 더하면 된다. 예를 들어 √17은 √16 = 4에 (17−16)÷(4×2) = 0.125를 더해 4.125가 된다. 실제 값 4.123과 거의 같다.
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'72의 법칙'을 이용하면 복리 계산을 쉽게 어림할 수 있다. 72를 이자율(%)로 나누면 돈이 2배가 되는 데 걸리는 시간이 나온다. 예를 들어 연 6% 복리라면 72 ÷ 6 = 약 12년 만에 원금이 2배가 된다. 실제 계산하면 2.012배로, 정확도가 매우 높다.
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1982년 SAT에 출제된 원 회전 문제에서 30만 명의 수험생 중 단 3명만이 정답을 맞혔다. 출제자마저 답을 틀려 정답이 보기에 없었고, 재채점이 이루어졌다. 이 문제의 핵심은 '동전 회전 역설'로, 한 원이 같은 크기의 원 둘레를 굴러가면 1바퀴가 아닌 2바퀴를 돈다.
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1939년 미국의 수학자 조지 댄치그는 수업에 지각해 칠판에 적힌 문제를 과제로 착각하고 풀어 제출했다. 교수가 깜짝 놀란 이유는, 그것이 과제가 아니라 통계학의 미해결 문제였기 때문이다. 이 일화는 훗날 영화 '굿 윌 헌팅'에 영감을 주었다.
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2011년 4chan의 익명 유저가 애니메이션 '스즈미야 하루히의 우울'의 14화를 가능한 모든 순서로 보려면 최소 몇 화가 필요한지 계산하다가, 수학 미해결 문제인 초순열의 최소 길이 하한을 증명해 버렸다. 이 증명은 7년간 묻혀 있다가 2018년에야 수학자에 의해 발견되었다.
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